\documentclass[fleqn,10pt,a4paper]{article}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz}
\usepackage{wrapfig}

\usepackage{geometry}
\geometry{left=2cm}
\geometry{right=1.5cm}
\geometry{top=2cm}
\geometry{bottom=2cm}

\begin{document}
В этом разделе приведены расчеты, необходимые для определения направления
на одиночный источник звука. Направление на источник звука определяется на
основании разности хода фазового фронта до микрофонов решетки. В простейшем
случае решетка может содержать два микрофона.

Чертеж приведен на рисунке
рис.~\ref{single_s_src_dir}. Одиночный источник звука расположен в точке $D$ на расстоянии $L$ от центра плоскости микрофонной решетки. Микрофоны заркплены в точках $A$ и $B$, расстояние между микрофонами - $S$.

\begin{figure}[p]
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) --(4,6) -- (5,0) -- (0,0);
\draw (2.5,0) --(4,6) -- (4,0);
\node [left] at (0,0) {A};
\node [right] at (5,0) {B};
\node [below] at (4,0) {C};
\node [below] at (2.5,0) {K};
\node [above] at (4,6) {D};
\node [above left] at (3,2) {L};
\draw (2.55,0.3) to [out=0,in=90] (2.8,0);
\node [above right] at (2.7,0.1) {$\alpha$};
\draw [fill=black] (4,0) rectangle (4.15,0.15);
\node [above left]  at (2,3) {$l_1$};
\node [above right] at (4.3,4) {$l_2$};
\draw (0,0) circle (0.1);
\draw (5,0) circle (0.1);
\end{tikzpicture}\label{single_s_src_dir}
\caption{Прием сигнала от одиночного источника}
\end{figure}

\begin{equation*}
    \Delta{}l = l_1-l_2
\end{equation*}
\begin{equation*}
    l_1 = \sqrt{AC^2+CD^2},~~~l_2 = \sqrt{BC^2+CD^2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
    CD = L\cdot\sin\alpha
\end{equation*}
\begin{equation*}
    AC=\frac{S}{2}+KC=\frac{S}{2}+L\cos\alpha
\end{equation*}
\begin{equation*}
    BC=\frac{S}{2}-KC=\frac{S}{2}-L\cos\alpha
\end{equation*}

\begin{equation*}
\begin{split}
	&\Delta{}l = l_1-l_2=\sqrt{AC^2+CD^2}-\sqrt{BC^2+CD^2}=\\
	&\sqrt{\left(\frac{S}{2}+L\cos\alpha\right)^2+L^2\cdot\sin^2\alpha}-
	\sqrt{\left(\frac{S}{2}-L\cos\alpha\right)^2+L^2\cdot\sin^2\alpha}=\\
	&\sqrt{\left(\frac{S^2}{4}+S\cdot{}L\cdot\cos\alpha+L^2\cdot\cos^2\alpha+L^2\cdot\sin^2\alpha\right)}-
	\sqrt{\left(\frac{S^2}{4}-S\cdot{}L\cdot\cos\alpha+L^2\cdot\cos^2\alpha+L^2\cdot\sin^2\alpha\right)}
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation}
	\boxed{
		\Delta{}l =
		\sqrt{\left(\frac{S^2}{4}+S\cdot{}L\cdot\cos\alpha+L^2\right)}-\sqrt{\left(\frac{S^2}{4}-S\cdot{}L\cdot\cos\alpha+L^2\right)}
	}\label{delta_l_cos_alpha}
\end{equation}

Выполняем замену
\begin{equation*}
	a = \frac{S^2}{4}+L^2,~~~x = S\cdot{}L\cdot\cos\alpha
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\Delta{}l =	\sqrt{\left(a+x\right)}-\sqrt{\left(a-x\right)}
\end{equation*}

Решаем относительно $x$
\begin{equation*}
	{\Delta{}l}^2=a+x-2\sqrt{\left(a+x\right)}\cdot\sqrt{\left(a-x\right)}+a-x=2a-2\sqrt{\left(a+x\right)}\cdot\sqrt{\left(a-x\right)}=
\end{equation*}
\begin{equation*}
	2a-2\sqrt{a^2-x^2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
	a^2-x^2=\left(a-\frac{{\Delta{}l}^2}{2}\right)^2
\end{equation*}
\begin{equation*}
	x = \sqrt{a^2-\left(a-\frac{{\Delta{}l}^2}{2}\right)^2}
\end{equation*}

Подставляем $a$ и $x$
\begin{equation*}
	S\cdot{}L\cdot\cos\alpha =
	\sqrt{\left(\frac{S^2}{4}+L^2\right)^2-\left(\frac{S^2}{4}+L^2-\frac{{\Delta{}l}^2}{2}\right)^2}
\end{equation*}
\begin{equation}
	\boxed{
		\cos\alpha =
		\frac{\sqrt{\left(\frac{S^2}{4}+L^2\right)^2-\left(\frac{S^2}{4}+L^2-\frac{{\Delta{}l}^2}{2}\right)^2}}{S\cdot{}L}
	}
	\label{cos_alpha_SL}
\end{equation}

Формула~(\ref{cos_alpha_SL}) позволяет рассчитать направление на источник звука
на основании разности хода фазового фронта $\Delta{}l$ и расстояния до источника
$L$. В реальных условиях расстояние $L$ неизвестно, поэтому точное определение
направления также невозможно. При расчетах по формуле~(\ref{cos_alpha_SL})
рекомендуется принять допущение, что $L\ge50\cdot{}S$. При этом погрешность в
определении направления зависит от величины $\Delta{}L=L-L_0$, где $L$ -
расстояние до источника, используемое при рассчетах, $L_0$ - истинное расстояние
до источника. Очевидно, что погрешность возрастает при увеличении значения
$\Delta{}L$.

На рисунке~\ref{single_s_src_err} приведен пояняющий чертеж. На чертеже
$\alpha$ --- направление, определенное по формуле~(\ref{cos_alpha_SL}) на
мнимый источник $D'$, $\alpha_0$ --- истинное направление на источник звука $D$.

\begin{figure}[p]
\begin{tikzpicture}
%\draw[help lines] (0,0) grid (5,6);
\draw (0,0) --(4,6) -- (5,0) -- (0,0);
\draw (2.5,0) --(4,6);
\draw (0,0) --(4,2) -- (5,0);
\draw (2.5,0) --(4,2);
\node [left] at (0,0) {A};
\node [right] at (5,0) {B};
\node [below] at (2.5,0) {K};
\node [above] at (4,6) {$D'$};
\node [above] at (4,2) {D};
\node [above left] at (3,2) {L};
\node [above right] at (3.3,0.8) {$L_0$};
\draw (2.55,0.3) to [out=0,in=90] (2.8,0);
\node [above right] at (2.8,0) {$\alpha$};
\draw (3.1,0.8) to [out=0,in=90] (3.7,0);
\node [above right] at (3.6,0.1) {$\alpha_0$};
\draw (0,0) circle (0.1);
\draw (5,0) circle (0.1);
\end{tikzpicture}\label{single_s_src_err}
\caption{Погрешность в определении направления при неизвестном $L_0$}
\end{figure}

Введем неравенство, связывающее между собой углы $\alpha$ и $\alpha_0$
максимальной погрешностью определения направления $\Delta\alpha$
\begin{equation*}
	|\alpha-\alpha_0| < \Delta\alpha
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\left\{
		\begin{aligned}
			\alpha &< \alpha_0 + \Delta\alpha~,~\alpha>\alpha_0\\
			\alpha &> \alpha_0 - \Delta\alpha~,~\alpha<\alpha_0\\
		\end{aligned}
	\right.
\end{equation*}

Чертежу соответствует первое неравенство системы.
\begin{equation*}
			\alpha < \alpha_0 + \Delta\alpha
\end{equation*}
\begin{equation*}
			\alpha_0 > \alpha - \Delta\alpha
\end{equation*}

Необходимо наложить такое ограничение на $L_0$, чтобы выполнялись условия этого
неравенства.
\begin{equation*}
	\cos\alpha_0 < \cos\left(\alpha - \Delta\alpha\right)
\end{equation*}

Изменение знака неравенства обусловленно свойствами $\cos\alpha$.
Значение $\alpha$ получается на основе $\cos\alpha$ и должно рассчитываться по
формуле~(\ref{cos_alpha_SL}). Для удобства будет выполнена замена 
$\Delta{}l=\Delta{}l_0$. Расчет $\Delta{}l_0$ должен производиться для 
реального направления $\alpha_0$ и реального расстояния $L_0$ по 
формуле~\ref{delta_l_cos_alpha}. Для расчета $\cos\alpha_0$ также должна
применяться формула~(\ref{cos_alpha_SL}).

\begin{equation*}
	\frac{\sqrt{\left(\frac{S^2}{4}+{L_0}^2\right)^2-\left(\frac{S^2}{4}+{L_0}^2-\frac{{\Delta{}l_0}^2}{2}\right)^2}}{S\cdot{}L_0}
	< \cos\left(\alpha - \Delta\alpha\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\sqrt{\left(\frac{S^2}{4}+{L_0}^2\right)^2-\left(\frac{S^2}{4}+{L_0}^2-\frac{{\Delta{}l_0}^2}{2}\right)^2}
	< S\cdot{}L_0\cdot\cos\left(\alpha - \Delta\alpha\right)
\end{equation*}

Упрощаем подкоренное выражение

\begin{equation*}
\begin{split}
	&\left(\frac{S^2}{4}+{L_0}^2\right)^2-\left(\frac{S^2}{4}+{L_0}^2-\frac{{\Delta{}l_0}^2}{2}\right)^2=\\
	&\frac{{\Delta{}l_0}^2}{2}\cdot\left(2\frac{S^2}{4}+2{L_0}^2-\frac{{\Delta{}l_0}^2}{2}\right)=\\
	&\frac{{\Delta{}l_0}^2S^2}{4}+{\Delta{}l_0}^2{L_0}^2-\frac{{\Delta{}l_0}^4}{4}
\end{split}
\end{equation*}

Подставляем в неравенство

\begin{equation*}
	\sqrt{\frac{{\Delta{}l_0}^2S^2}{4}+{\Delta{}l_0}^2{L_0}^2-\frac{{\Delta{}l_0}^4}{4}}
	< S\cdot{}L_0\cdot\cos\left(\alpha - \Delta\alpha\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\frac{{\Delta{}l_0}^2S^2}{4}+{\Delta{}l_0}^2{L_0}^2-\frac{{\Delta{}l_0}^4}{4}
	< S^2\cdot{}{L_0}^2\cdot\cos^2\left(\alpha - \Delta\alpha\right),
\end{equation*}

при этом должно выполняться условие
$\frac{{\Delta{}l_0}^2S^2}{4}+{\Delta{}l_0}^2{L_0}^2-\frac{{\Delta{}l_0}^4}{4}\ge
0$. Т.к $S^2\cdot{}{L_0}^2\cdot\cos^2\left(\alpha - \Delta\alpha\right)\ge0$,
дополнительную проверку на неотрицательное значение подкоренного выражения можно
не выполнять.

\begin{equation*}
	{\Delta{}l_0}^2{L_0}^2-S^2\cdot{}{L_0}^2\cdot\cos^2\left(\alpha -
	\Delta\alpha\right) < \frac{{\Delta{}l_0}^4}{4} - \frac{{\Delta{}l_0}^2S^2}{4}
\end{equation*}
\begin{equation*}
	{L_0}^2\left({\Delta{}l_0}^2-S^2\cos^2\left(\alpha -
	\Delta\alpha\right)\right)
	< \frac{{\Delta{}l_0}^4 - {\Delta{}l_0}^2S^2}{4}
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\left\{
		\begin{aligned}
			{L_0}^2 &< 
			\frac{{\Delta{}l_0}^4 - {\Delta{}l_0}^2S^2}{4\left({\Delta{}l_0}^2-
			S^2\cos^2\left(\alpha - \Delta\alpha\right)\right)},~
			{\Delta{}l_0}^2-S^2\cos^2\left(\alpha - \Delta\alpha\right)>0
			\\
			{L_0}^2 &>
			\frac{{\Delta{}l_0}^4 - {\Delta{}l_0}^2S^2}{4\left({\Delta{}l_0}^2-
			S^2\cos^2\left(\alpha - \Delta\alpha\right)\right)},~
			{\Delta{}l_0}^2-S^2\cos^2\left(\alpha - \Delta\alpha\right)<0
			\\
		\end{aligned}
	\right.
\end{equation*}

Проанализируем систему неравенств. Левые части неравенств представлены
положительным числом. Первое неравенство может выполняться только при условии,
что его правая сторона также положительное число. Ограничение на знаменатель
задано в условиях неравенства. Это означает, что числитель должен быть 
положительным. Проверим это условие.

\begin{equation*}
	{\Delta{}l_0}^4 - {\Delta{}l_0}^2S^2 =
	{\Delta{}l_0}^2\cdot\left({\Delta{}l_0}^2-S^2\right)
\end{equation*}

$S>\Delta{}l_0$ т.к. разность хода звуковых колебаний между двумя точками не
может превышать расстояния между этими точками. Отсюда

\begin{equation}
	\boxed{
		{\Delta{}l_0}^4-{\Delta{}l_0}^2S^2<0
	}\label{l_S_rel}
\end{equation}

Это означает, что первое неравенство системы невыполнимо.

Второе неравенство имеет отрицательный знаменатель в соответствии с условиями
этого неравенства и отрицательный числитель, как показано в (\ref{l_S_rel}). Это
означает, что правая часть этого неравенства строго неотрицательна, а значит,
существует множество значений $L_0$, для которых оно не выполняется и множество
значений $L_0$, для которых оно выполняется.

\begin{equation}
	\boxed {
		L_0 >
		\sqrt{\frac{{\Delta{}l_0}^4 - {\Delta{}l_0}^2S^2}{4\left({\Delta{}l_0}^2-
		S^2\cos^2\left(\alpha - \Delta\alpha\right)\right)}}
	}\label{L_delta_alpha}
\end{equation}

Определим условия, при которых знаменатель в подкоренном выражении
формулы~(\ref{L_delta_alpha}) принимает отрицательные значения.

\bigskip

\textbf{Алгоритм определения размера ближней зоны.}

1. Выбрать базовое значение $L_0$ из диапазона $5\ldots10 S$;

2. Выбрать максимальную погрешность $\Delta\alpha$;

3. Выбрать угол $\alpha_0$ для которого необходимо определить минимальное
расстояние;

4. Расчитать $\Delta_0$ по формуле~(\ref{delta_l_cos_alpha});

5. Рассчитать $\cos\alpha$ по формуле~(\ref{cos_alpha_SL}), подставив
$\Delta=\Delta_0$, определить~$\alpha$;

6. Рассчитать уточненное значение $L_0$ по формуле~(\ref{L_delta_alpha});

7. Пункты 3\ldots6 необходимо выполнить для всех интересующих углов.

\bigskip
Результат расчета размера ближней зоны, за пределами которой погрешность
опредления направления не превышает $2^\circ$ приведен на рисунке~\ref{nz_plot}.

\begin {figure}
	\begin{center}
		\input{nz_gnuplot}
	\end{center}\label{nz_plot}
	\caption{Граница ближней зоны при погрешности определения угла $2^\circ$}
\end {figure}

\bigskip
\textbf{Определение направления на одиночный источник звука}

Физическая основа определения направления на источник звука --- разность хода
фазового фронта от источника к нескольким микрофонам. Определив разность хода
можно рассчитать направление на источник. В этой работе рассматривается два
способа:

--- Корреляция между сигналами с микрофонов

--- Искажения спектра при суммировании сигналов.

Рассмотрим искажения спектра подробнее. Пусть в системе установлено два
микрофона на расстоянии $S$ друг от друга. Источник смещен относительно нормали
к плоскости микрофонов. Для начала будем считать, что источник формирует звук на
одной единственной частоте $\omega$.

Сигналы на каждом из микрофонов:
\begin{equation*}
	s_1(t) = \sin\left(\omega{}t+\phi_1\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
	s_2(t) = \sin\left(\omega{}t+\phi_2\right)
\end{equation*}

Просуммируем эти сигналы (как это происходит в антенной решетке)
\begin{equation*}
	\begin{aligned}
		s_1(t) + s_2(t) &=
		\sin\left(\omega{}t+\phi_1\right)+\sin\left(\omega{}t+\phi_2\right) \\
		&= 2\sin\frac{\omega{}t+\phi_1+\omega{}t+\phi_2}{2}\cdot
		\cos\frac{\omega{}t+\phi_1-\omega{}t-\phi_2}{2} = \\
		&= 2\sin\left(\omega{}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)
		\cos\frac{\phi_1-\phi_2}{2} = \\
		&= 2\sin\left(\omega{}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)
		\cos\frac{\Delta\phi}{2}
	\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\Delta\phi=\frac{\Delta{}l\cdot\omega}{C}=2\pi\Delta{}l\frac{f}{C}
\end{equation*}
\begin{equation*}
	s_1(t) + s_2(t) = 2\sin\left(\omega{}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)
		\cos\frac{\Delta{}l\cdot\omega}{2C}
\end{equation*}

При построении спектра сигнала составляющая
$\sin\left(\omega{}t+\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)$ является копией оригинального
сигнала, сдинутого по фазе. При любых значений $\phi_1$ и $\phi_2$ спектр этого
сдвинутого сигнала совпадает с исходным. Другая составляющая ---
$\cos\frac{\Delta\phi}{2}$ --- зависит только от разности фаз.
А разность фаз в свою очередь является функцией частоты исходного сигнала.
Поэтому при расчете спектра эта составляющая также  превращается в функцию
частоты.

Определим спектры сигналов на частоте $\omega=2\pi{}f$:
\begin{equation*}
	\begin{aligned}
		F_{s_1(t)} &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                  \frac{1}{2i}\left(e^{i\omega{}t+i\phi_1}-e^{-i\omega{}t-i\phi_1}\right)\cdot{}e^{-i\omega{}t}dt=\\
	               &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                  \frac{1}{2i}\left(e^{i\omega{}t+i\phi_1}\cdot{}e^{-i\omega{}t}-e^{-i\omega{}t-i\phi_1}\cdot{}e^{-i\omega{}t}\right)dt=\\
	               &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                  \frac{1}{2i}\left(e^{i\omega{}t+i\phi_1-i\omega{}t}-e^{-i\omega{}t-i\phi_1-i\omega{}t}\right)dt=\\
	               &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                  \frac{1}{2i}\left(e^{i\phi_1}-e^{-i(2\omega{}t+\phi_1)}\right)dt=\\
	               &= \frac{1}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                  e^{i\phi_1}dt -
	                  \frac{1}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                  e^{-i(2\omega{}t+\phi_1)}dt=\\
	               &= \frac{e^{i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                  dt -
	                  \frac{e^{-i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                  e^{-2i\omega{}t}dt
	\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation*}
	F_{s_2(t)} = \frac{e^{i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
                  dt -
                  \frac{e^{-i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
                  e^{-2i\omega{}t}dt
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\begin{aligned}
		F_{s_1(t)+s_2(t)} &=
		             \frac{e^{i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty dt
		             - \frac{e^{-i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                 e^{-2i\omega{}t}dt + 
	                 \frac{e^{i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty dt
		             - \frac{e^{-i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty
	                 e^{-2i\omega{}t}dt=\\
	                 &=\left(\frac{e^{i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}}+\frac{e^{i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}\right)
	                 \int\limits_{-\infty}^\infty dt
	                 - \left(\frac{e^{-i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}} +
	                         \frac{e^{-i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}\right)
	                 \int\limits_{-\infty}^\infty{}e^{-2i\omega{}t}dt=\\
	                 &=\frac{e^{i\phi_1}+e^{i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}
	                 \int\limits_{-\infty}^\infty dt
	                 - \frac{e^{-i\phi_1}+e^{-i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}
	                 \int\limits_{-\infty}^\infty{}e^{-2i\omega{}t}dt=\\
	\end{aligned}
\end{equation*}

Выразим $\phi_2=\phi_1-\Delta\phi$ и упростим числители дробей:
\begin{equation*}
	e^{i\phi_1}+e^{i\phi_2}=e^{i\phi_1}+e^{i\phi_1-i\Delta\phi}=e^{i\phi_1}+e^{i\phi_1}e^{-i\Delta\phi}=e^{i\phi_1}\left(1+e^{-i\Delta\phi}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
	e^{-i\phi_1}+e^{-i\phi_2}=e^{-i\phi_1}+e^{-i\phi_1+i\Delta\phi}=e^{-i\phi_1}+e^{-i\phi_1}e^{i\Delta\phi}=e^{-i\phi_1}\left(1+e^{i\Delta\phi}\right)
\end{equation*}

Проанализируем составные части выражений (интегралы). Значение интеграла
$\int\limits_{-\infty}^\infty dt$ стремится к бесконечности, тогда как
абсолютное значение интеграла $\int\limits_{-\infty}^\infty{}e^{-2i\omega{}t}dt$
не превышает 2 (сумма синуса и косинуса). Таким образом, при определении
спектральной плотности мощности (делении на диапазон $[-\infty\dots{}\infty]$)
значение первого интеграла сойдется к действительному числу, а второго - к нулю.
Поэтому вторыми интегралами можно пренебречь и переписать формулы в следующем
виде:

\begin{equation*}
	F_{s_1(t)} \approx
                 \frac{e^{i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{}dt
\end{equation*}
\begin{equation*}
	\begin{aligned}
		F_{s_1(t)+s_2(t)} & \approx
	                 \frac{e^{i\phi_1}+e^{i\phi_2}}{i\sqrt{8\pi}}
	                 \int\limits_{-\infty}^\infty dt =
	                 \frac{e^{i\phi_1}\left(1+e^{-i\Delta\phi}\right)}{i\sqrt{8\pi}}
	                 \int\limits_{-\infty}^\infty dt = 
	                 \left(1+e^{-i\Delta\phi}\right)\frac{e^{i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}}
	                 \int\limits_{-\infty}^\infty dt = \\
	               &=\left(1+\cos\Delta\phi-i\sin\Delta\phi\right)\frac{e^{i\phi_1}}{i\sqrt{8\pi}}
	               \int\limits_{-\infty}^\infty dt
	\end{aligned}
\end{equation*}

Видно, что спектры отличаются единственным множителем
\begin{equation*}
K^*(\Delta\phi)=1+\cos\Delta\phi-i\sin\Delta\phi
\end{equation*}
Этот множитель выражает изменения в амлитуде и фазе суммарного сигнала
относительно одного из исходных.

\begin{equation}
	\boxed{
		K=1+\cos\frac{2\pi{}f\cdot\Delta{}l}{C}-i\sin\frac{2\pi{}f\cdot\Delta{}l}{C} =
		1+e^{-i\frac{2\pi{}f\cdot\Delta{}l}{C}} }\label{amplitude_link_k}
\end{equation}

Формула~\ref{amplitude_link_k} связывет амплитуды оригинального и суммарного
сигналов. Эта формула может применяться для сравнения сигналов и определения направления
на источник. Абсолютное значение разности фаз определяет частоту колебаний в
спектра разностного сигнала. Для определения модуля $\Delta{}l$ достаточно
проанализировать действительную часть формулы~\ref{amplitude_link_k}. Построим
спектр $H(\Delta{}l_v)$, где $\Delta{}l_v$ --- изменяемое значение разности фаз

\begin{equation*}
	H(\Delta{}l_v) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}
	\left(1+e^{-i\frac{2\pi{}\cdot\Delta{}l}{C}f}\right)e^{-i\frac{2\pi{}\cdot\Delta{}l_v}{C}f}
	df
\end{equation*}

В этой формуле $\frac{2\pi{}\cdot\Delta{}l}{C}$ выступают в роли круговой
частоты $\omega_K(\Delta{}l)$. При работе с спектром, полученным из дискретного
сигнала с использованием БПФ формула должна быть преобразована на основании
следующих рассуждений.

1. Частота сигнала ограничена значениями $\left[-F_d/2\dots{}F_d/2\right]$

2. Операция интегрирования должна быть заменена сумированием.

3. Комплексный множитель формируется из частоты колебаний
$f_K\left(\Delta{}l_v\right)$ амплитуды отношения спектров и частоты
дискретизации сигнала.

\begin{equation*}
	H(\Delta{}l_v) = \sum_{f=-F_d/2}^{F_d/2}
	\left(1+e^{-i\frac{2\pi{}\cdot\Delta{}l}{C}f}\right) 
	e^{-i\cdot{}2\pi{}\frac{f_K\left(\Delta{}l_v\right)}{F_d} f}
\end{equation*}

Спектр будет принимать максимальные значения при совпадении круговых частот
колебания отношения спектров и комплексного множителя. Это выполняется при
выполнении условия
$\frac{f_K\left(\Delta{}l_v\right)}{F_d}=\frac{\Delta{}l}{C}$, откуда

\begin{equation*}
	f_K\left(\Delta{}l_v\right)=f_K\left(\Delta{}l\right)=\frac{\Delta{}l\cdot{}F_d}{C}
\end{equation*}

Определим пределы, в которых достаточно изменять значение $F_K$. Очевидно, что
при правильной работе аппаратуры разность хода фазового фронта не может
превысить расстояние между микрофонами, т.е. $\Delta{}l\le{}S$. Отсюда

\begin{equation*}
	0\le{}f_K\le\frac{S\cdot{}F_d}{C}
\end{equation*}

Для пересчета частоты колебания отношения спектров в разность хода фазового
фронта можно использовать формулу

\begin{equation*}
	\Delta{}l = \frac{f_K\cdot{}C}{F_d}
\end{equation*}

Используя формулу~(\ref{cos_alpha_SL}) можно рассчитать направление на
предполагаемый источник звука.

\end{document}
